第八章. 向量代数与空间解析几何1. 空间直角坐标系2. 向量代数2.1 向量的加减与乘除运算2.2 向量的模与方向余弦2.3 两向量的数量积(点乘)2.4 两向量的向量积(叉乘)2.5 向量的投影计算(补充)3. 平面及其方程3.1 平面的点法式方程3.2 平面的一般方程3.3 平面得截距式方程3.4 两平面的相互位置关系3.5 点到平面的距离公式4. 空间直线方程4.1 空间直线的参数方程4.2 空间直线的一般方程4.3 空间直线与直线的位置关系4.4 空间直线与平面的位置关系5. 二次曲面与空间曲线5.1 二次曲面(未)5.2 二次曲面总结5.3 空间曲线(例题)第九章. 多元函数微分学1. 多元函数基本概念1.1 二元函数的极限1.2 常考题型1.3 二元函数连续性1.4 二元连续函数的性质2. 偏导数2.1 偏导数的计算及可导与连续的关系2.2 高阶偏导数3. 全微分及其应用3.1 可微与连续可导关系3.2 全微分近似计算4. 多元复合函数与隐函数的求导法则4.1 多元复合函数的求导4.2 多元复合函数求导的几种特殊情况4.3 抽象函数偏导数。4.4 隐函数的求导法则5. 方向导数与梯度5.1 方向导数5.2 梯度6. 偏导数的应用6.1 空间曲线的切线与法平面6.2 曲面的切平面与法线6.3 多元函数得极值6.4 最大值和最小值6.5 条件极值第十章. 二重积分1. 二重积分的概念1.1 二重积分的性质1.2 估计定理计算积分与二重积分比较2. 二重积分的计算2.1 直角坐标下的二重积分计算2.2 二重积分的化简2.3 极坐标下的二重积分计算2.4 极坐标与直角坐标互换2.5 直角坐标与极坐标互换3. 二重积分的应用举例3.1 立体体积3.2 平面薄片的质量第十一章. 曲线积分1. 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)1.1 对弧长的曲线积分性质1.2 对弧长曲线积分的解法2. 对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)2.1 对坐标曲线积分的性质2.2 对坐标曲线积分的计算方法3. 格林公式3.1 格林公式3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件第十二章. 无穷级数1. 级数的基本性质2. 级数的敛散性判断2.1 判断常数项级数收敛级数性质判断法等比级数性质判断法级数收敛必要条件判断法2.2 正项级数审敛法比较审敛法级数性质比较审敛法极限形式比值审敛法根值审敛法(柯西判别法)积分审敛法2.3 交错级数的审敛法莱布尼兹审敛法性质判断法2.4 级数的绝对收敛与条件收敛3. 幂级数及其收敛域4. 幂级数的运算及性质4.1 级数的运算性质4.2 级数求和函数5. 函数展开成幂级数

第八章. 向量代数与空间解析几何

1. 空间直角坐标系

在空间直角坐标系中点的特点:

  1. 在平面内:

    xoz(x,0,z)xoy(x,y,0)zoy(0,y,z)
  2. 在坐标对称点:

    (x,y,x)x(x,y,z)y(x,y,z)z(x,y,z)
  3. 面对称:

    xoz(x,y,z)yoz(x,y,z)xoy(x,y,z)

空间两点间的距离公式

|M1M2|=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2

平面两点距离公式:

|M1M2|=(x2x1)2+(y2y1)2

2. 向量代数

既有大小又有方向的量称为向量。

2.1 向量的加减与乘除运算

向量的减法: vdBWWT.jpg

2.2 向量的模与方向余弦

向量的坐标表示:设在平面直角坐标系上,起点为M1(x1,y1,z1),终点为M2(x2,y2,z2)的向量M1M2坐标表达式为:

M1M2={x2x1,y2y1,z2z1}

向量的模:向量a本质是点到远点O的距离。即

|a|=|OM|=ax2+ay2+az2

根据向量的模可以推出方向余弦:

{cosα=axax2+ay2+az2cosβ=ayax2+ay2+az2cosγ=azax2+ay2+az2

并且同一方向上cos2α+cos2β+cos2γ=1

与非零向量a同方向的单位向量1为:

a0=a|a|=1|a|{ax,ay,az}={cosα,cosβ,cosγ}

注意:cosαax轴方向夹角的余弦值、cosβay轴方向夹角的余弦值、cosγaz轴方向夹角的余弦值

单位向量的求法:求出一个向量的模,然后用向量的模分之一乘以原向量。

2.3 两向量的数量积(点乘)

2.4 两向量的向量积(叉乘)

两向量的向量积除了交换律,其他都符合基本运算规律。

向量积主要用于计算两向量同时垂直一直线的情况。

向量积的交换律(反交换律):a×b=b×a(逆为正顺为负)

特别的:a×a=|a||a|sin(ab)=02

向量积的计算方法

a×b=|ijkaxayazbxbybz|

方法:分别去掉i/j/k所在行和列,组成二阶行列式。二阶行列式解法是:左对角相乘有对角

i|ayazbybz|j|axazbxbz|+k|axaybxby|

2.5 向量的投影计算(补充)

abPrjba=a·b|b|baPrjab=a·b|a|

3. 平面及其方程

3.1 平面的点法式方程

如果非零向量n(法向量n)与空间一平面垂直,则称向量n为该平面的法向量。

点法式方程:

A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0

其中法向量n={A,B,C},平面过点M0={x0,y0,z0}M0点为向量坐标的公共点。如:M1M2M1M3的公共交点为M1

3.2 平面的一般方程

将上面的点法式方程展开得

Ax+By+Cz+D=0

D是平面到坐标轴距离。

由平面得一般方程,可得它的一些特殊情况和图形特征

  1. D=0时,平面过原点。 C=0时,平面平行z轴。 B=0时,平面平行于y轴。 A=0,平面平行于x轴。
  2. A=D=0时,平面过坐标原点且平行于x轴,即平面通过x轴。 B=D=0C=D=0时,平面过y轴或过z轴。
  3. A=B=0时,平面同时平行于x轴,y轴,即平行于xOy坐标面(或垂直与z轴)。 B=C=0A=C=0则平面平行于yOz面或平行于zOx面(垂直与x轴或垂直于y轴)。
  4. A=B=D=0,方程为z=0,这时平面过原点且平行于xOy面,即平面为xOy面。 B=C=DA=C=D时,平面为yOzzOx

y(421),

yB=0D=0Ax+Cz=0(4,2,1)C=4Ax+4z=0

3.3 平面得截距式方程

设平面在三个坐标轴的交点分别为:P(a,0,0)Q(0,b,0)R(0,0,c),我们称a,b,c为平面在对应轴上的截距,设该平面的一般式方程为Ax+By+Cz+D=0,因点P,Q,R在平面上,可得截距式方程为:

xa+yb+zc=1

3.4 两平面的相互位置关系

设平面12方程分别为:

A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0

它们的法向量为:

n1={A1,B1,C1}n2={A2,B2,C2}

3.5 点到平面的距离公式

设点P0(x0,y0,z0)是平面外的一点,且平面的法向量n={A,B,C},则点到平面距离公式为:

d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2

从而也可以得到点到直线距离:

d=|Ax0+By0+C|A2+B2

平面到平面的距离公式为:

d=|D2D1|A2+B2+C2

4. 空间直线方程

我们把平行于直线的非零向量s称为直线的方向向量,并记s={m,n,p},设直线l过一定点M0(x0,y0,z0),则直线l的点向式方程为:

xx0m=yy0n=zz0p

4.1 空间直线的参数方程

由于直线的点向式方程可以得到直线的参数方程。设xx0m=yy0n=zz0p=t,其中t为参数,则

{x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt

4.2 空间直线的一般方程

空间直线可以看作两个空间平面的交线,设两个平面分别为A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0,则称联立方程组

{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0

此方程组为直线的一般方程(其中,系数A1,B1,C1A2,B2,C2不成比例)

直线的点向式方程与一般式方程可以互相转换,在点向式方程中将两个等式联立,便得到直线的一般式方程。

在一般式方程中只要能确定直线的方向向量和直线上一点,便能转化为直线的点向式方程。

一般方程转化为点向式方程:

线x+2y+3z=43x+y+2z=9

z=0{x+2y=43x+y=9x=2y=3,(2,3,0)线线线s:n1={1,2,3}n2={3,1,2}s=n1×n2,s=|ijk123312|=i11j+7k线x+21=y311=z7{x=2+ty=311tz=7t

参数方程化为一般方程

方法一:

化为一般式即为将直线表示为两个平面的交线,事实上,点向式方程的等式中任何两项相等都是一个平面因此,平面的一般式可直接写为

{xx0a=yy0byy0b=zz0c{b(xx0)=a(yy0)c(yy0)=b(zz0)

方法二:

求出直线方向向量的两个法向量,分别联立直线上的点坐标组成平面的点法式方程,展开成平面一般式方程,然后联立起来就是直线的交面式(一般式)方程组了。

已知方向向量求两个法向量:用构造法和方向向量点乘为零即可。

4.3 空间直线与直线的位置关系

设两直线L1L2的方程分别为:

xx1m1=yy1n1=zz1p1xx2m2=yy2n2=zz2p2s1={m1,n1,p1}s2={m2,n2,p2}

4.4 空间直线与平面的位置关系

设直线L:xx0m=yy0n=zz0p,平面∥:Ax+By+Cz+D=0,它们的方向向量和法向量分别为s={m,n,p}n={A,B,C}

5. 二次曲面与空间曲线

5.1 二次曲面(未)

5.2 二次曲面总结

三元二次函数是:求面、椭圆、双曲面、锥面其中一个

三元二次一次:抛物面

三元或二元方程:平面或柱面

5.3 空间曲线(例题)

第九章. 多元函数微分学

1. 多元函数基本概念

有多个变量确定的函数称为多元函数

DxOy平面上的一个点集,若对D中的每一点P(x,y),变量z按照一定的法则总有确定的值与之对应,则称z为变量x,y的二元函数,记作

z=f(x,y)(z=f(p))

点集D称为该函数的定义域,x,y称为自变量,z称为因变量,数集

W={z|z=f(x,y),(x,y)D}

称为该函数的值域。

z=ln(x+y)

x,yx+y>0D={(x,y)|x+y>0}

1.1 二元函数的极限

如果点P(x,y)在邻域内以任意方式无限趋近于点P0(x0,y0)时,对应的函数值f(x,y)无限接近于一个确定的常数A,则称A是二元函数f(x,y)(x,y)(x0,y0)时的极限,记作

lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)=Alimxx0yy0f(x,y)=A

需要注意的是P(x,y)P0(x0,y0)的方式有无穷多种。二元函数极限定义要求:点P(x,y)无论以什么方式趋近于点P0(x0,y0),对应的函数值必须无限接近于同一个常数A。因此,点P(x,y)沿两个不同的途径趋近于点P0(x0,y0)时,对应的函数值趋近于两个不同的常数,则二元函数的极限不存在。

1.2 常考题型

1.3 二元函数连续性

函数f(x,y)在区域(或闭区域)D内有定义,P0(x0,y0)D的边界点且P0D.若

limxx0yy0f(x,y)=f(x0,y0)

即如果函数满足:

  1. 极限存在并且相等
  2. 极限等于函数值

那么称f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续。

如果函数在区域D内的每一点都连续,则称函数f(x,y)D内连续,或称f(x,y)D内的连续函数。

若函数在点P0处不连续,则称P0为函数的间断点。注意二元函数的间断点可以形成一条曲线。如:f(x,y)=sin1x2+y21,在圆周x2+y2=1上没有定义,所以该圆周上各点都是间断的。

1.4 二元连续函数的性质

性质一(最值定理):在有界闭区域上的连续函数必有最大值与最小值。

性质二(介值定理):在有界闭区域D上的连续函数,在D上必能取得介于其在D上的最大值与最小值之间的任何值至少一次。

性质三:多元连续函数的复合函数也是连续函数。

性质四:一切多元初等函数在其定义域内是连续的。

2. 偏导数

设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,当y固定在y0(y=y0)xx0处有增量Δx时,相应地,函数有增量Δzx(称Δzxzx的偏增量),即

Δzx=f(x0+Δx,y0)f(x0,y0)

则二元函数关于x的偏导数可表示为:

fx(x0,y0)=limΔx0ΔzxΔx=limΔx0f(x0+Δx,y0)f(x0,y0)Δx

则二元函数关于y的偏导数可表示为:

fy(x0,y0)=limΔy0ΔzyΔy=limΔx0f(x0,y0+Δx)f(x0,y0)Δy

上面的可简写为:

zxfy...

2.1 偏导数的计算及可导与连续的关系

偏导数的计算:对自变量x求偏导,则y看作常量。对自变量y求偏导,则将x看作常量。

可导与连续的关系:对于二元函数,可导不一定连续,连续不一定可导。也就是连续与可导互不相干

2.2 高阶偏导数

高阶偏导数写法为:

2zx22zxy2zy22zyx

定理1:如果2zyx2zxy在点P(x,y)处连续,则在点P(x,y)处它们相等,即

2zyx=2zxy

高阶偏导数解法:

2zx2=x(zx)=fxx(xx)2zy2=y(zy)=fyy(xx)2zyx=2zxy=y(zx)=fxy(xy)

3. 全微分及其应用

设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域U(P)内有定义,在点P处若x,y分别有增量Δx,Δy,则函数有增量Δz,即

Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y)

Δz为函数z在点P处的全增量。

由此可以得到全微分公式为:

dz=zxdx+zydy(zx·dx+zy·dy)

3.1 可微与连续可导关系

可微的充分条件:若函数z=f(x,y)的偏导数fx(x,y)fy(x,y)在点P(x,y)处都连续,则函数z=f(x,y)在点P(x,y)处可微。

可微关系:

vD3RQs.jpg

3.2 全微分近似计算

近似公式:

f(x+Δx,y+Δy)f(x,y)+fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy

上式中f(x,y)为近似二元基本函数,ΔxΔy为极小量。

(1.05)2.01

z=f(x,y)=xyfx(x,y)=yxy1,fy(x,y)=xylnxf(x+Δx,y+Δy)xy+yxy1Δx+xylnxΔyx=1,y=2,Δx=1.051=0.05,Δy=0.01fx(1,2)=2,fy(1,2)=0(1.05)2.01f(1,2)+fx(1,2)Δx+fy(1,2)Δy=1+2×0.05+0×0.01=1.1

4. 多元复合函数与隐函数的求导法则

二元复合抽象函数:如z(x,y)=f(exsiny,x2+y2)

二元抽象函数:如z(x,y)=f(x,y)

二元复合函数:如z(x,y)=exyln(x+y)

4.1 多元复合函数的求导

链导公式:

u=u(x,y),v=v(x,y)在点(x,y)处可微,则复合函数z=f[u(x,y),v(x,y)]在点(x,y)处可导。且

zx=zu·ux+zv·vxzy=zu·uy+zv·vy

变量关系图如下:

变量关系图-min

4.2 多元复合函数求导的几种特殊情况

4.3 抽象函数偏导数。

自变量是抽象函数,因为不知道具体表达式,所以不用处理。如:z=f(xy,x+y2)

z=f(xy,x+y)zx,zy

u=xy,v=x+y,z=f(u,v)zx=fu·ux+fv·vx=yfu+fvzy=fu·uy+fv·vy=xfu+fv

4.4 隐函数的求导法则

隐函数由它高一元的方程所确定(二元隐函数由三元方程确定)。它的y不能由x解出来。F(x,y)=0是一元隐函数,它由二元方程确定。

一元隐函数求导公式:

dydx=FxFy(xy)

二元隐函数的求导公式:

zx=FxFzzy=FyFz

5. 方向导数与梯度

5.1 方向导数

方向导数计算:×。即

fl=fxcosα+fycosβ

其中,αβl的方向角。由前面所学的知识我们可以知道,方向余弦的平方和等于1。即cos2α+cos2β+cos2γ=1

本定义也可以推广到三元函数中,若三元函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微,则函数z在该点处沿任一方向

fl=fxcosα+fycosβ+fzcosγ

求方向导数步骤:

  1. 先求l(P1P0)
  2. 求方向余弦cosα,cosβ(cosα=x|l|cosα=y|l|)

u=xyzP1(5,1,2)沿P1P2(9,4,14)

ux|P1=yz|P1=2uy|P1=xz|P1=10uz|P1=xy|P1=5P1P2={4,3,12}lcosα=4|P1P2|=413cosβ=3|P1P2|=313cosγ=12|P1P2|=1213ul=ux|P1cosα+uy|P1cosβ+uz|P1cosγ=2×413+10×313+5×1213=7713

5.2 梯度

梯度是偏导数的向量,梯度公式:

gradf(x,y)={fx(x,y),fy(x,y)}

梯度的意义就是沿着一个方向前进的快慢,即变化率。

方向导数最大值是梯度的模,最小值为梯度模的负数。即

gmax=|gradf|gmin=|gradf|

补充:两梯度夹角计算:求出两个函数在两点处的梯度(g1,g2)后代入:

cosθ=g1·g2|g1||g2|

求出的θ就是两个梯度的夹角。

6. 偏导数的应用

6.1 空间曲线的切线与法平面

切线:空间直线(点向式)

法平面:空间平面(点向式)

方向向量求法:切点处三个参数偏导数,再将切点t0代入则为方向向量。

注意:三个点处的偏导数即是方向向量又是法向量。也就是=

切线方程:

xx0φ(t0)=yy0ψ(t0)=zz0ω(t0)

法平面方程:

φ(t0)(xx0)+ψ(t0)(yy0)+ω(t0)(zz0)=0

线x=cost,y=sint,z=2tt=π3线

dxdt=sintdydt=costdzdt=2t=π3T={32,12,2}π3线M0(12,32,2π3).线x1232=y3212=z2π3232(x12)+12(y32)+2(z2π3)=03x+y+4z=8π3

6.2 曲面的切平面与法线

切平面:点法式方程

法线:点向式

法向量:三个参数求偏导之后代入切点即为法向量。

方向向量:=

切平面方程:

Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(zz0)

法线方程:

xx0Fx(x0,y0,z0)=yy0Fy(x0,y0,z0)=zz0Fz(x0,y0,z0)

特别的如果曲面方程由显函数z=f(x,y)给出,函数f(x,y)在点(x0,y0)处具有连续偏导数,这时候曲线方程由三元函数f(x,y)z=0,此时法向量为:

n={fx(x0,y0),fx(x0,y0),1}

 

z=xy使线x+3y+z+9=0线

M0(x0,y0,z0),zx=y,zy=x,zz=(zxy)=1n={y0,x0,1}线线nn1={1,3,1},y01=x03=11,x0=3,y0=1.z=xyz0=3.M0(3,1,3)n={1,3,1}.线x+31=y+13=z31

6.3 多元函数得极值

二元函数的极值点一定是驻点或偏导数不存在得点。即极值点为:

zx=zy=0

解法:

  1. 求驻点zx=zy=0
  2. 判断驻点:先求A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),之后代入Δ=B2AC
  3. 如果Δ>0则不是极值点,如果Δ<0是极值,且当A>0时,f(x,y)为极小值。当A<0时,是极大值。

f(x,y)=x3+y33xy

使{fx(x,y)=3x23y=0fy(x,y)=3y23x=0(0,0),(1,1)fxx(x,y)=6x,fxy(x,y)=3,fyy(x,y)=6y(0,0)A=0,B=3,C=0Δ=B2AC=9>0.(1,1)A=6>0,B=3,C=6Δ=B2AC=27<0f(1,1)=1

6.4 最大值和最小值

二元函数在区间D内部连续且偏导数存在且有唯一的驻点,则函数在驻点处必取得最大值(或最小值)

V

x,y,zS=xy+2yz+2zxV=xyz,z=VxyS=xy+2Vx+2Vy(x>0,y>0)S,{Sx=y2Vx2=0Sy=x2Vy2=0x=y=2V3(2V3,2V3)SD(x>0,y>0)D.x=y=2V3Sz=Vxy=2V322V32V32

6.5 条件极值

以上所讨论的极值,对于函数的自变量来说,只要求它们在定义域内变化,不再受其他条件限制,这种极值为无条件极值。

求条件极值的一般方法:拉格朗日乘数法:

  1. 在题中找两个函数f(x,y)g(x,y)构造拉格朗日乘数L(x,y).即:

    L(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)(λ)
  2. L(x,y)x求偏导① L(x,y)y求偏导② g(x,y)=0为③ 构造拉格朗日方程组:

    {Lx=fx(x,y)+λgx(x,y)=0Ly=fy(x,y)+λgy(x,y)=0g(x,y)=0
  3. 若方程组有解(x,y),则它是函数的可能极值点。如果这样的点唯一,那么它就是极值点。

V

L(x,y,z)=xy+2yz+2zx+λ(xyzv){Lx=y+2z+λzy=0Ly=x+2z+λxz=0Lz=2y+2x+λxy=0xyzv=0x=y=2V3z=2V32S(2V3,2V3,2V32)Sx=y=2V3z=2V32

第十章. 二重积分

1. 二重积分的概念

二重积分定义:

设函数z=f(x,y)在有界闭区域D上有定义。将D任意分成n个小区域Δσi(i=1,2...,n),其中Δσi表示第i个小区域,也表示它的面积。记λ为各小区域直径的最大值。在每个小区域Δσi上任取一点(ξi,ηi),并作和式k=1nf(ξi,ηi)Δσi.如果λ0时,极限limλ0k=1nf(ξi,ηi)Δσi存在,则此极限值为函数f(x,y)在区域D上的二重积分。

二重积分就是立体在区域D用函数f(x,y)表示的体积。即

V=Df(x,y)dσ

其中D表示积分区域,f(x,y)为顶的曲面柱体体积,dσ表是面积元素

注意

  1. 在二重积分定义中,和式积分极限存在与否与D的分法及(ξi,ηi)的取法无关

  2. 如果f(x,y)在区域D上连续,则V=Df(x,y)dσ一定存在,即f(x,y)D上是可积的

  3. 如果f(x,y)<0,曲顶柱体位于xOy平面的下方,二重积分为负值,其绝对值等于曲顶柱体的体积。如果f(x,y)D上的一步分区域上是正的,在其他部分区域是负的,则二重积分并不等于曲顶柱体的体积,而是等于各部分区域上积分的代数和。即:

    V=D|f(x,y)|dσ=D1f(x,y)dσ+D2f(x,y)dσ

    即两种情况化为两种区域f(x,y)f(x,y)后相加。其中D1D2是区域D分为f(x,y)f(x,y)两种区域。

二重积分几何意义:二重积分Df(x,y)dσ的值等于以D为底,以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。

1.1 二重积分的性质

性质一:

D[f(x,y)±g(x,y)]dσ=Df(x,y)dσ±Dg(x,y)dσ

性质二:

Dkf(x,y)dσ=kDf(x,y)dσ

性质三:如果区域D被分成两个区域,即D=D1+D2,则

Df(x,y)dσ=D1f(x,y)dσ+D2f(x,y)dσ

性质四:如果在D上,f(x,y)=1σD的面积,则

σ=SD=Ddσ(1)

性质五:如果在D上有f(x,y)g(x,y),则有

Df(x,y)dσDg(x,y)dσ

上式仅当f(x,y)g(x,y)恒等时,才成立

性质六:设Mm分别为函数f(x,y)在闭区域D上有最大值和最小值,σD的面积,则

mσDf(x,y)dσMσ

先求f(x,y)最大值和最小值,再代入公式,此性质也被称为估值定理

性质七(二重积分的中值定理):设函数f(x,y)再闭区域D上连续,σD的面积,则再D上至少存在一点(ξi,ηi),使得

Df(x,y)dσ=f(ξi,ηi)·σ

f(x,y)0时,中值定理在几何上表示再D上至少存在一点(ξi,ηi),使得曲顶柱体的体积等于以D为底,以(ξi,ηi)为高的平顶柱体的体积。

1.2 估计定理计算积分与二重积分比较

I=D(x2+4y2+9)dσDx2+y24

f(x,y)=(x2+y2)+3y2+9f(x,y)(0,2)(0,2)M=f(x,y)|(0,2)/(0,2)=25,m=f(x,y)|0,0=9σ=π22=4π,36πD(x2+4y2+9)dσ100π

求估计步骤:

  1. 先算σ(D)
  2. F(x,y)=f(x,y)求最大值和最小值(M,m)
  3. M·σ为二重积分最大值,m·σ为二重积分最小值

比较二重积分可以运用性质五,注意:积分区域相同,看被积函数大小。如果被积函数相同,看被积区域的大小。

2. 二重积分的计算

2.1 直角坐标下的二重积分计算

2.2 二重积分的化简

2.3 极坐标下的二重积分计算

当遇到圆形、扇形时,可以采用极坐标计算二重积分。

平面直角坐标(x,y)与极坐标(ρ,θ)之间的关系

{x=ρcosθy=ρsinθ{cosθ=xρsinθ=yρ

积分区域D转换为极坐标形式如下:

{αθβφ1(θ)ρφ2(θ)

其中φ1(θ)是射线从原点出发,在D区域上的第一个交线()函数。φ2(θ)是离原点较远的交线函数。

α是射线从原点出发初次进入区域D区域角度,β是射线离开区域D时的角度。

极坐标根据φ(θ)函数围成积分区域D的不同可以分为三种情况:

Dx2+y2dσ,Dx2+y22ax(a>0)

x2+y22ax(xa)2+y2a2D{π2θπ20ρ2acosθDx2+y2dσ=π2π2dθ02acosθρ2dρ=329a3

2.4 极坐标与直角坐标互换

2.5 直角坐标与极坐标互换

方法:

  1. 画出直角坐标图
  2. 根据三角函数或角度代换判断θ
  3. D区域两条函数转化为极坐标形式(带参数)

01dx1x1x2f(x2+y2)dy

D{0x11xy1x2{x=ρcosθy=ρsinθ0θπ2,y=1xy=1x2y=1xρsinθ=1ρcosθρ=1sinθ+cosθy=1x2x2+y2=1ρ=101dx1x1x2f(x2+y2)dy0π2dθ1sinθ+cosθ1f(ρ2)ρdρ

直角左边化为极坐标:

直角左边化为极坐标

3. 二重积分的应用举例

3.1 立体体积

二重积分几何意义:二重积分Df(x,y)dσ的值等于以D为底,以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。

如果立体图形是由两个面围城,则立体体积公式:

D[]dσ

若立体图形由一个抛物面(锥面等曲顶柱面)及其他平面,坐标面围城,则立体体积公式为:

Ddσ

公式中的D为图形在底面的投影。

1z=x2+y2z=2x2+y2

xOyDx2+y21Dz=x2+y2z=2x2+y2线xOyV=D[2(x2+y2)](x2+y2)dσV=02πdθ01(2ρρ2ρ3)dρ=51202πdθ=512·2π=56π

双抛物面围成图形:

双抛物面围城图形-min

2x=4,y=4z=x2+y2+1

xOyDDx,yx=4y=4xOy线D0x4,0y4V=D(x2+y2+1)dσ=04dy04(x2+y2+1)dx=5603

单抛物面围成图形:

单抛物面围成图形-min

3.2 平面薄片的质量

有一个平面薄片,它占由xOy平面上的闭区域D,当薄片的密度分布均匀时(即面密度为常数),薄片的质量M为:

M=×

当薄片的密度分布不均匀时,即面密度μ=μ(x,y)xy的变化而变化,则利用微分可得:

M=Dμ(x,y)dσ

Dx+y=2,y=xxμ(x,y)=2x+y2

DM=D(2x+y2)dσ=01dyy2y(2x+y2)dx=136136

第十一章. 曲线积分

1. 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)

弧长的曲线积分指的是:函数之间一段弧长l()

如果曲线弧L是闭曲线,则函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作

Lf(x,y)ds

1.1 对弧长的曲线积分性质

性质一:

L[f(x,y)±g(x,y)]ds=Lf(x,y)ds±Lg(x,y)ds

性质二:设k为常数,则

Lkf(x,y)ds=kLf(x,y)ds

性质三:设L可分成两段光滑曲线弧L1L2,即L=L1+L2,则

Lf(x,y)ds=L1f(x,y)ds+L2f(x,y)ds

性质四:设在L上有f(x,y)g(x,y),则

Lf(x,y)dsLg(x,y)ds|Lf(x,y)ds|L|g(x,y)|ds

1.2 对弧长曲线积分的解法

对于曲线积分的计算方法是化为定积分后进行计算,下面就曲线弧L的方程不同表示形式,讨论Lf(x,y)ds的计算方法。

曲线弧L的方程为:

{x=φ(t)y=ψ(t)(αtβ)

其中,φ(t)ψ(t)[α,β]上具有一阶连续导数,且φ2(t)+ψ2(t)0。由弧微分公式可知:

Lf(x,y)ds=αβf[φ(t),ψ(t)]φ2(t)+ψ2(t)dt(α<β)

:Lex2+y2ds,Lx2+y2=1,线y=xy

L=L1+L2+L3,线Lex2+y2ds=L1ex2+y2ds+L2ex2+y2ds+L3ex2+y2dsL1x=0(0y1)L2y=x(0x12)L3x=ρcosθ,y=ρsinθ(π4θπ2),x2+y2=1ρ=1x=cosθ,y=sinθ(π4θπ2)L1ex2+y2ds=01eydy=ey|01=e1L2ex2+y2ds=012e2x1+y2dx=e2x|012=e1L3ex2+y2ds=π4π2esin2θ+cos2θ(cosθ)2+(sinθ)2dθ=π4π2edθ=π4eLex2+y2ds=2(e1)+π4e

图像:

第一类曲线积分

2. 对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)

对坐标的曲线积分指的是:从一点到另一点的一段弧L()

如果L为闭曲线,则对坐标的曲线积分记作

LP(x,y)dx+Q(x,y)dy

2.1 对坐标曲线积分的性质

性质一:

L[P1(x,y)±P2(x,y)]dx+[Q1(x,y)±Q2(x,y)]dy=LP1(x,y)dx+Q1(x,y)dy±LP2(x,y)dx+Q2(x,y)dy

性质二:设k为常数,则

Lk[P(x,y)dx+Q(x,y)dy]=kLP(x,y)dx+Q(x,y)dy

性质三:如果L可以分成两段光滑的曲线弧L1L2,即L=L1+L2,则

LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=L1P(x,y)dx+Q(x,y)dy+L2P(x,y)dx+Q(x,y)dy

性质四:设L是与L方向相反的光滑有向弧段,则

LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=LP(x,y)dx+Q(x,y)dy

该性质是对坐标的曲线积分特有的,因为坐标曲线积分有方向,方向相反则加负号。

2.2 对坐标曲线积分的计算方法

对坐标曲线积分的计算方法同样也是化为定积分后再计算,就曲线弧L的方程的不同表示形式,分别进行讨论:

曲线弧L的参数方程为:

{x=φ(t)y=ψ(t)

同时,要求t=α对应L的起点,t=β对应L的终点,φ(t)ψ(t)[α,β]上具有一阶连续导数,且φ2(t)+ψ2(t)0

LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=αβ{P[φ(t),ψ(t)]φ(t)+Q[φ(t),ψ(t)]ψ(t)}dt

:Γxdx+ydy+(x+y1)dz,ΓA(1,1,1)B(2,3,4)线

ΓA(1,1,1)B(2,3,4),线AB(1,2,3)线x=1+t,y=1+2t,z=1+3t,(0t1)=01[(1+t)·1+(1+2t)·2+(1+t+1+2t1)·3]dt=01(6+14)tdt=13

3. 格林公式

格林公式是将第二类曲线积分转化为二重积分

3.1 格林公式

如果D内任意一条闭曲线所包围的部分完全属于D,则称D为平面单连通区域。否则为复连通区域。如:x2+y210<x2+y21由此我们可以知道:

{()使()使

设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)Q(x,y)D上具有一阶连续偏导数,则

LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=D(QxPy)dxdy

也就是:dyxdxy

在上述格林公式中取P(x,y)=y,Q(x,y)=x,我们还可以推导出第二类曲线积分面积公式:

A=12Lxdyydx

1:L(2xsiny2y)dx+(x2cosy+1)dyLx2+y2=ax(a>0)A(a,o)O(0,0)

线OAL+OA线DLPdx+Qdy=L+OAPdx+QdyOAPdx+Qdy=D(QxPy)dxdyOAPdx+Qdy=2Ddxdyab[0+(x2+1)·0]dx=2·12π·a240=πa24

例1图示:

格林公式例1

2:x=acosθ,y=bsinθ

AA=12Lxdyydx=1202π(abcos2θ+absin2θ)=12ab02πdθ=πab

3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件

设区域D是一个单连通区域,函数P(x,y)Q(x,y)D内具有一阶连续偏导数,则曲线积分LPdx+QdyD内与路径无关的充分必要条件是:

Qx=Py

曲线积分与路径无关的格林公式如下:

LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=D(QxPy)dxdy=0

从而可以得到以下三条结论:

  1. 在区域D内,曲线积分LPdx+Qdy与路径无关
  2. 在区域D内,Qx=Py
  3. 对于区域D内任意一条闭曲线L,有LPdx+Qdy=0

总结:若Qx=PyQxPy连续,则第二类求曲线积分与路径无关,可以随意改变积分路径(一般选择直线段)。但起点和终点不能变。

:LexcosydxexsinydyLx2+y2=a2A(a,0)B(0,a)

P=excosy,Q=exsinyQx=Py=exsinyLexcosydxexsinydyAOB=AOexcosydxexsinydy+OBexcosydxexsinydy=a0exdx+0asinydy=ex|a0+cosy|0a=cosaea

第十二章. 无穷级数

无穷级数的本质是数列的极限,所以等价无穷小等极限的性质可以直接使用。

如:n=1arctan1n32n=11n32

1. 级数的基本性质

性质一:若级数n=1unn=1vn都收敛,则级数n=1(un±vn)也收敛,且n=1(un±vn)=n=1un±n=1vn

例如:级数n=112n,n=113n都收敛且和分别为112,则级数n=1(12n+13n)也收敛且和为32

性质二:若n=1(un+vn)收敛,则n=1unn=1un未必收敛

性质三:级数n=1un收敛,级数n=1vn发散,则n=1(un±vn)发散

性质四:若n=1un发散,n=1vn也发散,则n=1(un±vn)不一定发散(n=11n=11)

性质五:若级数n=1un收敛,其和为s,则级数n=1kun也收敛,且其和为ks;如过级数n=1un发散,则级数n=1kun也发散(k0)

性质六:在级数中去掉、加上或改变有限项,不改变级数的敛散性,但在级数收敛时,一般会改变级数的和

性质七:在收敛级数中,对某些项任意加入括号,所得级数仍然收敛,且其和不变

如:n=1un收敛则n=1un+1也收敛n=1(un+un+1+...+un+v)都收敛,但n=1(unun+1)不一定收敛

性质八:如果在级数中插入括号后新级数发散,则原级数必定发散;如果新级数收敛,则原级数不一定收敛

2. 级数的敛散性判断

2.1 判断常数项级数收敛

数项级数的第n项:un=SnSn1(Snn)

级数性质判断法

若级数n=1un部分和数列{sn}有极限s,即limnsn=s,则称级数n=1un收敛,并称s为级数n=1un的和,记作n=1un=s.如果极限不存在,则级数发散。

如果使用该方法则要先计算un的部分和Sn,再对Sn求极限

:n=11n(n+1)的敛散性

sn=11·2+12·3+...+1n(n1)(112)+(1213)+...+(1n1n+1)=11n+1limnsn=limn(11n+1)=11

等比级数性质判断法

等比级数判断,当公比q

{|q|<1|q|1

当级数收敛时极限存在,级数n=1aqn收敛于a1q;级数不收敛时,limnsn=,极限不存在。

级数收敛必要条件判断法

根据级数收敛必要条件判断:

若级数n=1un收敛,则limn=0,也就是收敛极限的通项必定为0

limn=0,则级数n=1un不一定收敛。

limn0,则级数n=1un必定发散

2.2 正项级数审敛法

所谓正向级数,就是每一个项都是非负数的级数

比较审敛法

设级数n=1un,n=1vn都是正项级数,且unvn(n=1,2,...).那么:

  1. 若级数n=1vn收敛,则级数n=1un也收敛;
  2. 若级数n=1un发散,则级数n=1vn也发散;

注意:un中含有cosθsinθ时候,可以将其放大为1。例:n=1cosxn2n=11n2

p级数性质

如果级数为n=11np,其中p为分母与分子的最高次幂之差,若p

{p>1p1

如:n=11n(n+1),p=1

比较审敛法极限形式

n=1unn=1vn都是正向级数,如果:

limnunvn=l(0<l<)

则级数n=1unn=1vn敛散性相同。

比值审敛法

常用于通项中有乘方、阶乘的正项级数

n=1un为正向级数,且

limnun+1un=ρ

ρ<1时,级数收敛

ρ>1ρ=+时,级数发散

ρ=1时,无法判断

根值审敛法(柯西判别法)

n=1un为正项级数,如果

limnunn=ρ

ρ<1时,级数收敛

ρ>1ρ=+时,级数发散

ρ=1时,无法判断

积分审敛法

f(x)[1,)上非负且单调递减,则级数n=1f(n)与广义积分1f(x)dx同收敛。

:n=11x(lnx)2

f(x)=1x(lnx)2,,[2,+]21x(lnx)2dx=1lnx|2+=1ln2

2.3 交错级数的审敛法

正负相间的级数称为交错级数

莱布尼兹审敛法

若交错级数n=1(1)n1un满足下列条件:

  1. unun+1(n=1,2,3,...)(充分条件)
  2. limn=0

满足以上两个条件则级数收敛,且和su1,余项|rn|un+1(必要条件)

性质判断法

设交错级数为n=1(1)n1np,当p

  1. p0时,级数发散
  2. p>0时,级数收敛。且当p>1时,级数绝对收敛,当0p1时,级数条件收敛。

2.4 级数的绝对收敛与条件收敛

绝对收敛:若任意项级数n=1un的绝对值级数n=1|un|收敛,则任意项级数n=1un必收敛。即

n=1|un|n=1un

条件收敛:若n=1un收敛,但n=1|un|发散,则n=1un条件收敛

n=1un发散,则n=1|un|必定发散

3. 幂级数及其收敛域

所有收敛点的集合称为收敛域,所有发散点的集合称为发散域。

收敛域需要判断区间端点处是否收敛。而收敛区间则不需要考虑。

设有幂级数n=1anxn,如果

limn|an+1an|=ρ

ρ=+时,只在x=0处幂级数绝对收敛,幂级数的收敛半径R=0

ρ=0时,对任意的x,幂级数都绝对收敛,幂级数的收敛半径R=+

ρ0时,有|x|<1ρ时,幂级数绝对收敛;|x|>1ρ时,幂级数发散,称R=1ρ为幂级数的收敛半径。即0<ρ<+时,R=1ρ为收敛半径。若将x直接代入求极限,则x看做常数,x的整体不参与极限运算,此时变为|x|<1

:n=13n+(2)nn(x1)n

limn|an+1an|=limn[3n+1+(2)n+1](x1)n+1n+1n[3n+(2)n](x1)n=|3(x1)|<1|x1|<1323<x<43,x=23n=1[(1)nn+1n(23)n],n=1(1)nnn=11n(23)n,,x=43n=1[1n+(2)nn·3n],n=11n,n=1(2)nn·3n.[23,43)

4. 幂级数的运算及性质

4.1 级数的运算性质

级数的逐项求导公式:

s(x)=(n=1anxn)=n=1(anxn)=n=1nanxn1

级数的逐项积分公式:

0xs(x)dx=0x(n=1anxn)dx=n=10xanxndx=n=1anx+1xn+1

4.2 级数求和函数

步骤:

  1. 求幂级数的收敛区间

  2. 将级数设为s(x)

  3. 消系数化为等比级数:

    • 消系数有两种方法:微分法(级数为分式用)和积分法(级数为乘积用)
    • 消系数后得等比级数,利用n=1aqn=a11q得级数的和
  4. 还原:积分法两边求导,微分法两边求积分

注意:若判断用微分法还是积分法后级数仍然很麻烦,可在级数两边同乘或同除x

1:n=0(2n+1)x2n

n=0(2n+1)x2ns(x),R=limn2n+32n+1=1,(1,1)s(x)=n=0(2n+1)x2n,0xs(x)dx=n=00x(2n+1)x2ndx=n=0x2n+1x2n+1q=x2,a1=x,0xs(x)dx=x1x2,s(x)=(x1x2)=1+x2(1x2)2x=±1n=0(2n+1)(1,1)s(x)=1+x2(1x2)2

2:n=1xnn

R=limn|an+1an|=1(1,1)s(x)s(x)=n=1xnn,(1,1)s(x)=(n=1xnn)=n=1xn1xn1q=x,a1=1.s(x)=11x0xs(x)dx=0x11xdx=ln(1x)|0x=ln11xn=1xnnx=1,ln11xx=1,[1,1)[1,1)n=1xnn=ln11x(1x<1)

5. 函数展开成幂级数

泰勒中值定理:如果函数f(x)在点x0得某邻域内具有(n+1)阶导数,则在该邻域内,有:

f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f(x0)2!(xx0)2+...+f(n)(x0)n!(xx0)n+Rn(x)

特别的当x0=0时,我们得到f(x)x的幂展开的n阶麦克劳林公式:

f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)2!x2+...+f(n)(0)n!xn+Rn(x)

几个重要麦克劳林公式:

ex=n=0xnx!x(,+)cosx=n=0(1)nx2n(2n)!=n=1(1)n1x2n2(2n2)!x(,+)sinx=n=0(1)nx2n+1(2n+1)!=n=1(1)n1x2n1(2n1)!x(,+)ln(1+x)=n=0(1)nxn+1n+1=n=1(1)n1xnnx(1,1]11x=n=0xn=n=1xn1x(1,1)广11ω=n=0ωn1<ω<1

:f(x)=12xx

f(x)=12x=12(1x2)11ω=n=0ωn1<ω<1=12n=0(x2)n=n=1xn2n+1,1<x2<12<x<2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


1 模长为1​​​的向量称为单位向量
2 ab​是指两向量的夹角